یک R- مدول ­راست M درون­برپوشا گفته­ می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول غیرصفر N از M همریختی غیرصفرپوشایی از M  به N موجود باشد. بنابر قضیه اول یکریختی و با توجه به این

 

نکته که  یک مدول اصلی یکریخت با  R/Iاست ، حلقه R یک حلقه­ pri  است اگر و تنها اگر مدول R_R درون­برپوشا باشد. دوگان این مطلب به­نام هم­درون­برپوشایی توسط قربانی ارائه شده­است. R – مدول M هم­درون­برپوشا گفته­ می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول سره N از M  همریختی غیرصفر یک ­به ­یکی از M/N  به M موجود باشد.

 

در این پایان­نامه مفهوم هم­درون­بر­پوشایی، قضایای مربوطه و دوگان­ آن تحقیق می­شود که برگرفته از مرجع ]3[ می­باشد.

 

1-2. تعاریف وقضایای مقدماتی

 

        در سراسر این پایان­نامه حلقه­ها شرکت­پذیر و یکدار می­باشند. (تمام مدول­ها مدول راست می باشند.) درابتدا یادآوری، سپس تعاریف اولیه و بعد قضایای مقدماتی به صورت نکته و لم بیان می­شود.

 

 

 

یادآوری

 

     فرض­کنید R یک حلقه باشد.R  – مدول M را ساده گویند اگر زیرمدول غیربدیهی نداشته باشد. مدول M نیم­ساده نامیده ­می­شود اگر هر زیرمدولش یک جمعوند آن باشد.

 

     زیرمدول L از M اساسی ­نامیده ­می­شود و می­نویسیم ­Lv_ess M هرگاه به ­ازای هر  N £ M اگر L ∩ N = 0 ، آنگاه =0 N . به­طور معادل L v_ess M  اگر و تنها اگر به ­ازای­ هر عنصر ناصفر xÎM ، rÎR موجود باشد به­طوری­که  0 ¹ xrÎ L .

 

      زیرمدول K از M زاید ­نامیده­ می­شود و می­نویسیم K<< M ، ­هرگاه به ­ازای هر  N £ M  اگرK + N = M   آنگاه = M  N.

 

      فرض کنید M  یک R- مدول راست باشد، X زیرمجموعه­ای از M و Y هم زیرمجموعه­ای از R ، پوچساز راست X در R  با r_R (X) و پوچسازچپ Y در  M با l_M (Y)  نمایش داده­  می­شود و تعریف می­کنیم :

 

r_R (X) = { r Î R : X r = 0 }            l_M (Y) ={ m Î M : mY = 0 }

 

همچنین برای S- مدول چپ N ، r_N (Z) وl_S (W)  به­طور مشابه برای هر Z Í S و هر

 

W Í N به صورت زیر تعریف می­شود :

 

r _N  (Z) ={ n Î N : Z n = 0 }           l _S (W) = { s Î S : sW = 0 }

 

  اگر  X = {a}، آنگاه پوچساز راست آن با  r_R (a )  نشان داده­ می­شود و داریم :  

 

 r_R (a)= r_R (X) و نیز   l_R (a)= l_R (X).

 

با استفاده از قضیه 2-15 از مرجع [1] نتایج زیر را داریم :

 

اگر A و B دو زیرمجموعه R – مدول راست M  باشند و AÍ B آنگاه r_R (B) Í r_R (A) . بوضوح Í l_M (r_R (A)) A و می­توان نتیجه گرفت (A))) Í r_R (A)  r_R (l_M (r_R . از سوی دیگر با قرار دادن  C= r_R (A)درC Í l_M (r_R ©) (به­ازای هرC Í R) داریم :

 

 r_R (A) Í r_R(l_M (r_R (A)))پس (A))) Í r_R (A)  r_R (l_M (r_R ؛

 

در نتیجه(A))) = r_R (A)  r_R (l_M (r_R .

 

 به طریق مشابه اگر I و J دو زیرمجموعه R باشند و I Í J ، آنگاه l_M (J) Í l_M (I)  . بوضوح

 

I Í r_R (l_M (I)) و می­توان نتیجه گرفت :  l_M (r_R (l_M (I)))=l_M (I) .

 

       اگرM یک R -مدول و U یک کلاس از R – مدول­ها باشدTr (M ,U ) و Rej (M, U ) به­ صورت زیر تعریف می­شوند که زیرمدول­هایی از M می­باشند.

 

Tr (M ,U )=å { Im f | f : u_a →  M  ,   u_aÎ U برای برخی }

 

Rej (M, U )=∩ {ker f | f : M →  u_a  ,    u_aÎU  برای برخی }

 

اگر S مجموعه تمام R – مدول­های راست ساده باشد، به ­ازای هر R – مدول M،Soc (M_R)    بزرگترین زیرمدول نیم­ساده M است و با توجه به بخش 9 از مرجع [1]  به صورت زیر تعریف می­شود :

 

Soc(M_R) = Tr (M ,S) = å {K | است M یک زیرمدول ساده از K }

 

        = ∩ { L | L v_ess M }.

 

همچنین  R –  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر  soc(M_R) = M_R .

 

ضمناً به سادگی دیده­ می­شود R –  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر زیرمدول اساسی غیر بدیهی نداشته ­باشد.

 

R      – مدول M پروژکتیو نامیده ­می­­شود هرگاه به ­ازای هر نمودار از R- همریختی­ها و  R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد ، R- همر­یختی→ A    M موجود باشد به­طوری­که نمودار زیر جابجایی باشد.

 

1-2-1. R –  مدول پروژکتیو M

 

یا به­طور معادل اگر هر دنباله دقیق کوتاه به صورت A→ B→ M → 0 0 →  شکافته شود ، آنگاه M پروژکتیو است.

 

R     – مدول M انژکتیو نامیده­ می­­شود هرگاه به­ ازای هر نمودار از R- همریختی­ها  و R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد، R – همر­یختی→  M   B موجود باشد به­طوری­که نمودار جابجایی باشد.  

 

1-2-2. R –  مدول انژکتیو M

 

همچنین R – مدول M انژکتیو است هرگاه به ازای هرایده­آل راست I از R ، هر همریختی

 

f : I→ M  را بتوان از R به M گسترش داد. (لم بئر)

 

1-2-3. R –  مدول انژکتیوM  (لم بئر)

 

 

تعاریف و قضایای زیر برای حلقه­ها و مدول­های راست بیان می­شود و به­طور مشابه برای مدول­های چپ نیز برقرار است.

 

تعریف 1-2-1. حلقه R، خود- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه R_R انژکتیو باشد.

 

تعریف 1-2-2. حلقه R، حلقه انژکتیو اصلی راست یا به ­اختصار P- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه به ­ازای هر aÎR  هر R – همریختی f :aR→ R_R    را بتوان به R– همریختی

 

:R_R→  R_R     گسترش داد .

 

تعریف1-2-3 . مجموعه عناصر منفرد R- مدول راست M  را با Z(M_R )  نشان می­دهیم  و تعریف می­کنیم :

 

Z(M_R ) = {mÎM |  r_R (m) v_ess R_R  }  £ M .

 

تعریف1-2-4 . R – مدولM، نامنفرد نامیده ­می­شود هرگاه Z(M_R ) = 0  و نیز منفرد نامیده می­شود هرگاه  Z(M_R ) = M .

 

تعریف1-2-5 . زیرمدول N ازR – مدول M ، کاملاً پایا نامیده ­می­شود هرگاه به ­ازای­ هر

 

ÎEnd (M_R )  f   داشته­ باشیم f(N) Í N  .