1-3-3  تعداد دور ریز در الگوریتم گیبس  …………………………………………………………… 10

 

1-3-4  همگرایی الگوریتم گیبس  ……………………………………………………………………….. 11

 

1-4  فصل بندی رساله  ……………………………………………………………………………………………….. 13

 

 

 

فصل دوم : استنباط کلاسیک و بیز درمورد مدل نیم‌نرمال

 

2-1  برتوزیع نرمال بریده  ……………………………………………………………………………….. 15

 

2-1-1  میانگین و واریانس توزیع نرمال بریده  …………………………………………………….. 15

 

2-2  متغیر تصادفی نیم نرمال (HN)…………………………………………………………………………. 19

 

2-2-1  میانگین و واریانس توزیع نیم نرمال …………………………………………………………. 19

 

2-3  استنباط کلاسیک مبنی بر  برآوردگرهای حداکثر درستنمایی  ………………………… 22

 

2-3-1  برآوردگرهای کلاسیک پارامترهای توزیع نیم‌نرمال  ………………………………… 22

 

2-3-2  فاصله اطمینان کلاسیک برای پارامترهای توزیع نیم‌نرمال  …………………….. 23

 

2-4  استنباط بیزدر مورد مدل نیم نرمال  ………………………………………………………………….. 27

 

2-4-1  مقدمه‌ای بر استنباط بیز  ………………………………………………………………………….. 27

 

2-4-2  توزیع پیشین و توزیع پسین برای مدل نیم نرمال  ………………………………….. 28

 

2-4-3  برآورد نقطه‌ای و فاصله‌ای بیز برای پارامترهای مدل نیم‌نرمال  ………………. 31

 

2-4-4  خانواده چگالی مزدوج  ………………………………………………………………………………. 35

 

فصل سوم:  استنباط کلاسیک و بیز در مدل نیم t

 

3-1  معرفی توزیع t بریده  ………………………………………………………………………………………….. 38

 

3-2  توزیع نیمt ……………………………………………………………………………………………………………. 39

 

3-2-1  میانگین و واریانس توزیع نیم t استاندارد   ……………………………………………… 40

 

3-3  استنباط کلاسیک توزیع نیم t بر اساس روش حداکثر درستنمایی ………………….. 42

 

3-3-1  برآورد میانگین توزیع نیم t ………………………………………………………………………. 42

 

3-3-2  برآورد واریانس توزیع نیم t  ……………………………………………………………………… 43

 

3-4  استنباط بیزی در مورد توزیع نیم t  …………………………………………………………………… 43

 

 

 

 

 

فصل چهارم : انتخاب مدل

 

4-1  بر روشهای انتخاب مدل  ………………………………………………………………………… 48

 

4-2  فاکتور بیز برای توزیع پیشین آگاهی بخش  ………………………………………………………. 48

 

4-3  فاکتور بیز برای توزیع پیشین ناآگاهی بخش   …………………………………………………… 50

 

4-3-1: فاکتور بیز جزئی  ……………………………………………………………………………………….. 51

 

4-4  الگوریتم چیب  …………………………………………………………………………………………………….. 53

 

فصل پنجم : شبیه سازی و نتیجه گیری

 

5-1  مقایسه همزمان برآوردگرهای کلاسیک و بیز در مدل نیم نرمال   …………………… 57

 

5-2  انتخاب مدل  ……………………………………………………………………………………………………….. 62

 

5-2-1  مدل نیم نرمال   ………………………………………………………………………………………… 62

 

5-5-2  مدل نیم t …………………………………………………………………………………………………..64

 

5-3 نتیجه گیری  …………………………………………………………………………………………………………. 67

 

منابع  ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 68

 

پیوست ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 71

 

چکیده و صفحه عنوان انگلیسی

 

 

 

فهرست جداول

 

 

 

 

 

 عنوان                                                                                                  صفحه

 

 

 

جدول 1.5   برآورد اریبی و  از برآوردگر حداکثر درستنمایی،حداکثر درستنمایی

 

تصحیح شده اریبی و میانگین توزیع پسین برای پارامتر    …………………………… 58

 

جدول 2.5  برآورد احتمال پوشش و پهنای فاصله اطمینان 95%  فواصل کلاسیک و بیز،

 

، برای پارامتر  …………………………………………………………………………………….. 59

 

جدول 3.5   برآورد اریبی و ، از حداکثر درستنمایی، حداکثر درستنمایی تصحیح

 

 

شده اریبی، میانگین توزیع پسین و مد توزیع پسین برای پارامتر   ……………… 60

 

جدول 4.5   برآورد احتمال پوشش و پهنای فاصله اطمینان 95%  فواصل کلاسیک قابل

 

قبول بیز و فاصله بیز، ، برای پارامتر   ……………………………………………….. 61

 

 

 

 

 

فهرست شکل ها

 

 

 

 

 

 عنوان                                                                                                               صفحه

 

 

 

شکل 1.2   نمودار تابع چگالی توزیع نیم نرمال استاندارد و توزیع نرمال استاندارد  …………….20

 

شکل 2.2   ناحیه اطمینان 95% توام  …………………………………………………………………….. 26

 

شکل 1.5   ناحیه اطمینان کلاسیک 95% و ناحیه اطمینان قابل قبول بیز   …………..63

 

شکل 2.5   هیستوگرام فراوانی نسبی همراه با تابع چگالی  وتوزیع

 

پیش بین بیز  ……………………………………………………………………………………………………… 64

 

شکل 3.5   هیستوگرام فراونی نسبی مقادیر ، همراه با برآورد چگالی پسین …………………. 65

 

شکل 4.5   تابع توزیع تجربی میزان چربی بدن 102 ورزشکار توام با تابع توزیع پیش

 

بین نیم t  ……………………………………………………………………………………………………………66

 

 

 

فصل اول

 

 

 

مقدمه و مفاهیم پایه

 

 

 

1-1   مقدمه

 

 

 

   توزیع نرمال یکی از مهمترین توزیع‌های احتمالی پیوسته در نظریه احتمال است. علت نام‌گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم‌خوانی بسیاری از مقادیر حاصل از نوسان‌های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. همچنین نقش این توزیع در قضیه حد مرکزیدلیل دیگری بر اهمیت توزیع نرمال می باشد. به زبان ساده، در قضیه حد مرکزی نشان داده می‌شود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. این قانون بیان کننده آن است که برآیند نوسان‌های مختلف تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمال آشکار شود. به عنوان مثال، با اینکه عوامل زیادی بر میزان خطای اندازه‌گیری یک کمیت اثر می‌گذارند. (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و …) اما با اندازه‌گیری های متعدد، برآیند این خطاها همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است. مثال‌های دیگری از این نوسان‌های طبیعی، طول قد، وزن یا بهره هوشی افراد است.

 

این توزیع گاهی به دلیل استفاده کارل فردریک گاوس[1] (1777- 1855) با نام توزیع گوسی (گاوسی) استفاده می‌شود، همچنین به دلیل شکل تابع چگالی آن به توزیع زنگوله‌ای (زنگدیس) نیز معروف است. با وجود سودمند بودن توزیع نرمال، مقادیر متغیر تصادفی در تئوری این توزیع روی مجموعه اعداد حقیقی تغییر می‌کند. حال آنکه در بسیاری از مطالعات آماری که داده‌ها تمایل به پیروی از توزیع نرمال دارند، دامنه تغییرات آنها تمام مجموعه اعداد حقیقی را در بر نمی‌گیرد. پس استفاده از توزیع نرمال در بررسی این داده‌ها، باعث بوجود آمدن خطای محاسباتی معنی‌داری می‌شود. بنابراین توزیع نرمال با تکیه‌گاه قسمتی از مجموعه اعداد حقیقی، انگیزه‌ای برای تحقیق در مورد توزیع نرمال بریده را بوجود می‌آورد. توزیع نیم نرمال حالت خاصی از توزیع نرمال بریده می‌باشد که نقاط بریدگی در صفر و بی نهایت اتفاق می‌افتد. آزالینی[2] (1985) ثابت کرد، توزیع نیم نرمال می‌تواند حد توزیع نرمال اریب باشد.

 

هنگام تعیین تقریبی میانگین نمونه‌های برداشته شده از یک متغیر تصادفی، توزیع تی‌استودنت مطرح می‌شود. این توزیع اساس آزمونی به نام “آزمون تی” است که تفاوت میانگین جامعه را از روی نمونه‌هایشان بررسی می‌کند.

 

آزالینی و کاپیتانیو[3] (2003) ، جونز و فدی[4] (2003)، ثابت کردند، که توزیع نیم t می تواند حد توزیع t اریب باشد استنباط بیز برای توزیع نرمال اریب توسط لیزو[5] (2004) انجام گرفت.

 

 

 

در این فصل در بخش اول به تعریف توزیع‌های مهم بکار رفته در پایان نامه می‌پردازیم و سپس در بخش دوم پس از تعریف توزیع پیشین و توزیع پسین، توزیع های پیشین آگاهی بخش و توزیع پیشین غیر آگاهی بخش را معرفی نموده و توزیع جفریز را توضیح می‌دهیم. در بخش سوم به معرفی الگوریتم متروپلیس – هستینگز می‌پردازیم و درانتها به چکیده‌ای از کارهایی که در این پایان نامه صورت گرفته است اشاره می‌کنیم.

 

 

 

 

 

1-2   برخی از توزیع‌های مهم آماری

 

 

 

   در این بخش بعضی از توزیع‌های آماری مهم که در این رساله مورد استفاده قرار می‌گیرد را معرفی می‌کنیم.

 

 

 

 

 

1-2-1   توزیع نرمال

 

 

 

یکی از مهمترین توزیع های آماری توزیع نرمال است. تابع چگالی توزیع نرمال با پارامترهای  و  به صورت زیر است :

 

توزیع نرمال دارای ویژگی های زیر است:

 

 

• تابع چگالی نرمال تابعی متقارن حول   است. همچنین   میانگین، نما و میانه توزیع است.

 

• نقاط عطف این منحنی،   و    است.

 

• این تابع بینهایت بار مشتق پذیر است.

 

• میانگین و واریانس این توزیع به ترتیب برابر با  و  می باشد.

 

 

 

1-2-2   توزیع تی استودنت

 

 

 

فرض کنید که    متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع با نرمال با میانگین  و واریانس   هستند .اگر  میانگین این متغیرهای تصادفی و    واریانس آنها را نشان دهد آنگاه متغیر تصادفی

 

دارای توزیع t با n-1 درجه آزادی است.

 

تابع چگالی متغیر تصادفی T با  درجه آزادی به صورت زیر نوشته می شود

 

که در آن Γ همان تابع گاما است.

 

میانگین این توزیع برای درجه آزادی بزرگتر از یک برابر با صفر و واریانس توزیع برای درجه آزادی بزرگتر از دو برابر با  می باشد.

 

 

 

 

 

1-2-3   توزیع نرمال گامای از راست بریده

 

 

 

بردار تصادفی  دارای توزیع نرمال گامای از راست بریده در نقطه  است و نوشته می‌شود

 

هر گاه تابع چگالی توزیع به صورت زیر باشد،

 

1-2-4   توزیع گوسین گامای تعدیل یافته

 

 

 

متغیر تصادفی  Wدارای توزیع گوسین گامای تعدیل شده گفته است و آن را با نماد،

 

 

 

نشان می دهند. هرگاه:

 

 

 

 

 

1-2-5   توزیع پیشین و توزیع پسین

 

 

 

اگر  پارمتر توزیع متغیر  به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته شود و تابع چگالی آن با ، نمایش داده شود،  را چگالی پیشین  می‌نامند. فضای پارامتر  در حکم  تکیه گاه  می باشد و  براساس تعبیر شخصی تعیین می‌شود.

 

نمونه تصادفی  را در نظر بگیرید این نمونه یا آماره  را به کار می‌بریم تا اطلاعات بیشتری درباره  به دست آوریم. به این منظورتابع چگالی شرطی   را به شرط داشتن   یا  پیدا می‌کنیم و تابع چگالی شرطی را با  نشان می دهیم.  را تابع چگالی پسین  می نامیم.