بکارگیری روش­های عددی بدون شبکه
در مدلسازی امواج غیرخطی سطح آب ناشی از باد
 
به کوشش
سیده فهیمه میرلوحی جوابادی
 
در این تحقیق معادلات دیفرانسیل موج غیرخطی توسط روش عددی RBF-DQ محلی حل شده­اند. این معادلات دیفرانسیل که بصورت معادله­ی لاپلاس (بعنوان معادله­ی حاکمه) و شرایط مرزی غیرخطی در سطح آزاد می­باشند؛ اساس مدل ریاضی در این پژوهش­اند. با استفاده از این مدل ریاضی می­توان انتشار و تغییرات سطح آب را پس از تولید موج به خوبی شبیه سازی نمود. روش عددی RBF-DQ یک روش عددی بدون شبکه­ی نوین است؛ که تا به حال جهت حل مسائلی نظیر معادلات نویراستوکس، مدل­سازی مسئله­ی انتقال حرارت، شبیه­سازی نشت غیرماندگار و … بکار گرفته شده و نتایج قابل قبولی بدست داده است. در این روش علاوه بر بهره­بردن از ویژگی­های روش دیفرانسیل کوادرچر در تخمین مستقیم مشتق، با بکارگیری توابع پایه­ی شعاعی، از مزایای روش­های عددی بدون شبکه نیز می­توان بهره­برد. ضمن آنکه می­توان روش حاصل را در مسائل با مرز نامنظم نیز بکارگرفت. یکی از مهمترین عوامل موثر بر دقت این روش، پارامتر شکل تابع پایه­ی شعاعی است که در این پژوهش، مقادیر مناسب آن بااستفاده از آنالیز عدد وضعیت ماتریس ضرایب وزن تخمین زده می­شود. در تحقیق حاضر بجای فرم کلی، از فرم محلی روش RBF-DQ استفاده گردیده است. این روش می­تواند با حفظ دقت روش RBF-DQ، محدوده کاربرد آن را گسترش داده و هزینه­های محاسباتی را كمتر نماید. بمنظور شبیه­سازی سطح آزاد که بخش اصلی شبیه­سازی می­باشد؛ از روش مرکب اویلری و لاگرانژی استفاده ­شده­است. تصدیق صحت و دقت مدل حاضر توسط مدل­های تحلیلی، مدل­های عددی در دسترس و نتایج آزمایشگاهی بررسی شده است. در این پژوهش ابتدا مدل انتشار امواج در مخزن عددی بررسی می­گردد و سپس انتشار امواج حاصل از موج­ساز مطالعه می­شود. نتایج این تحقیق نشان داد كه در مسئله­ای با شرط مرزی متغیر، از نظر حجم محاسبات، بکارگیری یک روش بدون شبکه نسبت به روش­های متکی بر شبکه اولویت دارد. روش RBF-DQ محلی به خوبی قادر به حل معادلات بوده و در برخی موارد دقت آن از روش­های تحلیلی و عددی دیگر بهتر است. همچنین بررسی عوامل موثر بر غیرخطی شدن موج نشان داد که ارتفاع موج نسبت به عمق آب و طول موج اثرگذارتر است.
 
کلیدواژگان: مدل موج غیر خطی- روش های عددی بدون شبکه
 
 
فهرست مطالب
 
 
عنوان                                         صفحه
 
فصل اول: مقدمه
1-1- کلیات.. 2
1-2- معرفی تحقیق حاضر.. 2
 
فصل دوم: بر پژوهش های پیشین
2-1- مقدمه.. 10
2-2- پیشینه ی تحقیقات انجام شده بر روی موج.. 11
2-2-1- مدل های اوّلیه ی امواج غیرخطی.. 11
2-2-2- مدل های جدید امواج غیرخطی.. 13
2-2-3- روش های عددی بدون شبکه در مدلسازی امواج غیرخطی   15
2-3- پیشینه ی تحقیقات انجام شده بر روی روش عددی مورد استفاده   16
2-3-1- روش عددی دیفرانسل کوادرچر (DQ).. 16
2-3-2- توابع پایه ی شعاعی (RBF).. 20
2-3-2-1- انواع توابع پایه ی شعاعی.. 20
2-3-2-2- کاربرد توابع پایه ی شعاعی در درونیابی   21
2-3-2-3- کاربرد توابع پایه ی شعاعی در حل معادلات دیفرانسیل   22
2-3-2-4- روش عددی RBF-DQ.. 23
2-3-2-5- تابع شعاعی MQ.. 24
 
عنوان                                         صفحه
 
2-3-3- عوامل موثر بر دقت و خطای مدل.. 25
2-3-3-1- چگالی گره ها.. 26
2-3-3-2- پارامتر شکل.. 26
2-3-3-2-1- تاثیر پارامتر شکل بر خطا.. 26
2-3-3-2-2- پارامتر شکل بهینه.. 29
2-3-3-3- پدیده ی رانچ.. 32
2-3-3-4- دقت محاسبات، خطای گرد کردن و عدد وضعیت   33
2-4- جمع بندی و نتیجه گیری.. 33
 

3-1- مقدمه.. 36
3-2- تئوری های موج.. 36
3-2-1- تئوری موج خطی.. 36
3-2-2- تئوری موج غیرخطی.. 39
3-2-2-1- دسته بندی تئوریهای اولیهی امواج غیرخطی   39
3-2-2-1-1- تئوری استوکس.. 39
3-2-2-1-2- تئوری Cnoidal 41
3-2-2-1-3- تئوری Boussinesq. 42
3-2-2- شبیه سازی عددی انتشار موج غیرخطی.. 42
3-2-2-1- هندسه ی مسئله و تعریف مخزن عددی.. 42
3-2-2-2- معادله ی حاکمه و شرایط مرزی.. 44
3-2-2-2-1- تئوری موج ساز.. 44
3-2-2-2-2- تابع صعودی.. 46
3-2-2-3- روش مرکب اویلری و لاگرانژی (MEL).. 48
عنوان                                         صفحه
 
3-2-2-4- ناحیه ی استهلاک یا ساحل مصنوعی.. 49
3-2-2-5- بکارگیری روش RBF-DQ برای تخمین مشتقات مکانی   50
3-2-2-5-1- انتخاب تابع پایه.. 50
3-2-2-5-2- تخمین مشتق های مکانی با روش RBF-DQ.. 51
3-2-2-5-3- روش RBF-DQ محلی.. 52
3-2-2-5-4- چگونگی اعمال شرایط مرزی.. 53
3-2-2-5-6- انتخاب پارامتر شکل مناسب.. 53
3-2-2-6- انتگرال گیری بر روی زمان.. 54
3-2-2-7- تابع یکنواختکننده.. 56
 
فصل چهارم:
4-1- مقدمه.. 58
4-2- مثال های عددی.. 59
4-2-1- مثال عددی اول: معادله ی برگرز.. 59
4-2-1-1- بررسی عوامل موثر بر افزایش دقت روش.. 60
4-2-1-1-1- بررسی تاثیر فاصله ی گرهها بر مدل   61
4-2-1-1-2- بررسی تاثیر پارامتر شکل بر مدل.. 61
4-2-1-1-3- بررسی تاثیر پارامتر شکل و فاصله ی گره ها بصورت همزمان.. 64
4-2-1-1-4- دقت محاسبات.. 65
4-2-1-1-5- پدیدهی رانچ.. 66
4-2-1-2- مقایسه ی روش های RBF-DQ و DQ.. 67
4-2-1-3- حل مسئله با استفاده از مقدار پارامتر شکل بهینه   68
4-2-2- مثال عددی دوم: معادله ی هلمهلتز.. 69
4-2-2-1- بررسی عوامل موثر بر افزایش دقت روش.. 70
عنوان                                         صفحه
 
4-2-2-1-1- بررسی تاثیر پارامتر شکل و تعداد گره ها بصورت همزمان.. 70
4-2-2-1-2- پدیدهی رانچ.. 71
4-2-2-2- حل مسئله با استفاده از مقدار پارامتر شکل بهینه   72
4-3- شبیه سازی انتشار موج در مخزن عددی.. 73
4-3-1- انتشار موج خطی.. 73
4-3-1-1- بررسی تاثیر همزمان تعداد گره ها و پارامتر شکل   75
4-3-1-1-1- تاثیر پارامتر شکل و تعداد گره ها در راستای افقی.. 78
4-3-1-1-2- تاثیر پارامتر شکل و تعداد گرهها در راستای عمق   80
4-3-1-1-3- بررسی تاثیر همزمان تعداد گره ها در دامنه ی تاثیر
و پارامتر شکل.. 83
4-3-1-2- حل مسئله با استفاده از پارامتر شکل مناسب و مقایسه ی
نتایج با نتایج روش تحلیلی.. 85
4-3-1-3- تاثیر طول ناحیهی استهلاک.. 88
4-3-1-4- مقایسه ی نتایج با نتایج روش عددی RBF  88
4-3-2- شبیه سازی انتشار موج غیرخطی در مخزن عددی   89
4-3-2-1- بررسی تاثیر همزمان تعداد گرهها و پارامتر شکل   91
4-3-2-1-1- تاثیر پارامتر شکل و تعداد گرهها در راستای افقی   91
4-3-2-1-2- تاثیر پارامتر شکل و تعداد گره ها در راستای عمق   94
4-3-2-1-3- بررسی تاثیر همزمان تعداد گره ها در دامنه ی
تاثیر و پارامتر شکل.. 96
4-3-2-2- حل مسئله با استفاده از پارامتر شکل مناسب و مقایسه ی
نتایج با نتایج روش تحلیلی.. 99
4-3-2-3- مقایسه ی نتایج با نتایج روش عددی RBF. 102
4-4- انتشار موج ایجاد شده توسط موج ساز در مخزن آزمایشگاهی   102
عنوان                                         صفحه
 
4-4-1- بررسی عوامل موثر بر غیرخطی شدن موج.. 105
 
فصل پنجم:
5-1- مقدمه.. 109
5-2- جمع بندی و نتیجه گیری.. 109
5-3- پیشنهادات.. 110
 
.. 111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
فهرست جداول
 
 
عنوان                                         صفحه
 
جدول2- 1- انواع توابع شعاعی پرکاربرد.. 20
جدول4- 1-تخمین پارامتر شکل بهینه با استفاده از کمینه ی نرمال خطای نسبی.. 62
جدول4- 2-تخمین پارامترشکل بهینه با استفاده از کمینه کردن نرمال خطای نسبی.. 64
جدول4- 3-مقایسه ی خطای RMSE دو روش دیفرانسیل کوادرچر و RBF-DQ
برحسب تعداد گره و در زمان های مختلف.. 67
جدول4- 4-مقایسه ی مقادیر خطای تابع برحسب تعداد گره های مختلف
در راستای افقی و بازای پارامتر شکل مناسب.. 71
جدول4- 5-مقایسه ی مقادیر خطای تابع پتانسیل سرعت برحسب تعداد گره های
مختلف در راستای افقی و بازای پارامتر شکل مناسب.. 79
جدول4- 6-مقایسه ی مقادیر خطای تراز سطح آب برحسب تعداد گره های مختلف
در راستای افقی و بازای پارامتر شکل مناسب.. 80
جدول4- 7-مقایسه ی خطای RMSE دو تابع پتانسیل سرعت و تراز سطح
برحسب مقادیر مختلف گره در راستای افقی بازای c=1. 80
جدول4- 8-مقایسه ی مقادیر خطای تابع پتانسیل سرعت برحسب تعداد گره های
مختلف در راستای عمق و بازای پارامتر شکل مناسب هر حالت   81
جدول4- 9-مقایسه ی مقادیر خطای تابع تراز سطح آب برحسب تعداد گره های
مختلف در راستای عمق و بازای پارامتر شکل مناسب هر حالت   82
جدول4- 10-مقایسه ی مقادیر خطای تابع پتانسیل سرعت برحسب تعداد گره های
مختلف در دامنه ی تاثیر و بازای پارامتر شکل مناسب هر حالت   84
عنوان                                         صفحه
 
جدول4- 11-مقایسه ی مقادیر خطای تراز سطح آب برحسب تعداد گره های
مختلف در دامنه ی تاثیر و بازای پارامتر شکل مناسب هر حالت   85
جدول4- 12-مقایسه ی خطای RMSE دو تابع پتانسیل سرعت و تراز سطح
برحسب مقادیر مختلف گره در دامنه ی تاثیر بازای c=1. 85
جدول4- 13-مقایسه ی تعداد کل گره ها و فاصله ی گام های زمانی مدل RBF-DQ
و RBF. 89
جدول4- 14-مقایسه ی مقادیر خطای تابع پتانسیل سرعت برحسب تعداد گره های
مختلف در راستای افقی و بازای پارامتر شکل مناسب.. 92
جدول4- 15مقایسه ی مقادیر خطای تراز سطح آب برحسب تعداد گره های مختلف در راستای افقی و بازای پارامتر شکل مناسب.. 93
جدول4- 16-مقایسه ی خطای RMSE دو تابع پتانسیل سرعت و تراز سطح
برحسب مقادیر مختلف گره در راستای افقی بازای c=1. 93
جدول4- 17-مقایسه ی مقادیر خطای تابع پتانسیل سرعت برحسب تعداد گره های
مختلف در راستای عمق و بازای پارامتر شکل مناسب.. 95
جدول4- 18-مقایسه ی مقادیر خطای تراز سطح آب برحسب تعداد گره های مختلف در راستای عمق و بازای پارامتر شکل مناسب.. 96

جدول4- 19-مقایسه ی مقادیر خطای تابع پتانسیل سرعت برحسب تعداد گره ها
در دامنه ی تاثیر و بازای پارامتر شکل مناسب.. 97
جدول4- 20-مقایسه ی مقادیر خطای تراز سطح آب برحسب تعداد گره ها در
دامنه ی تاثیر و بازای پارامتر شکل مناسب.. 98
جدول4- 21-مقایسه ی خطای RMSE دو تابع پتانسیل سرعت و تراز سطح
برحسب مقادیر مختلف گره در دامنه ی تاثیر بازای c=1. 99
جدول4- 22-مقایسه ی تعداد کل گره ها و فاصله ی گام های زمانی
مدل RBF-DQ و RBF. 101
 
 
 
فهرست شکل
 
 
عنوان                                         صفحه
 
شکل1- 1-تصاویری از تاثیر امواج بر پیرامون.. 4
شکل1- 2-طبقه بندی امواج.. 5
شکل 1- 3-پدیده ی جداسازی امواج ((Reeve. 6
شکل2- 1-محدوده مناسب برای بکارگیری تئوری های موج.. 13
شکل2- 2-پهن شدن تابع پایه ی شعاعی MQ با تغییر پارامتر شکل
(نرمال شده به مقدار بیشینه ی 1).. 27
شکل3- 1-موج خطی سینوسی و پارامترهای آن.. 37
شکل3- 2- هندسه ی مسئله، دامنه و مرزها در پلان xz. 43
شکل3- 3-طرح شماتیک گره مرجع و دامنهی تاثیر آن.. 52
شکل4- 1-مرتبه ی همگرایی خطا نسبت به فاصله ی گرهها   61
شکل4- 2-نرخ همگرایی خطا برحسب پارامتر شکل.. 62
شکل4- 3-نرخ همگرایی خطا برحسب مقادیر پارامتر شکل کوچک   63
شکل4- 4-نرخ همگرایی خطا برحسب پارامتر شکل.. 63
شکل4- 5-نرخ همگرایی خطا برحسب مقادیر پارامتر شکل کوچک   64
شکل4- 6-مقادیر خطای میانگین بازای مقادیر مختلف فاصله ی گره ها برحسب
پارامتر شکل بدون بعد.. 65
شکل4- 7-مقایسه ی خطای حاصل از دو روش محاسبات مضاعف و اختیاری برحسب پارامتر شکل (ε نرمال خطای نسبی است.).. 66
عنوان                                         صفحه
 
شکل4- 8-توزیع خطا در راستای x واثر پدیده ی رانچ بر آن   66
شکل4- 9-مقایسه ی مقادیر تابع u برحسب x با روش های تحلیلی و RBF-DQ
در زمان T=0.1s. 68
شکل4- 10-مقایسه ی مقادیر تابع u برحسب x با روش های تحلیلی و RBF-DQ
در زمان T=1s. 68
شکل4- 11-بررسی تغییرات عدد وضعیت ماتریس ضرایب بازای مقادیر   70
مختلف پارامتر شکل و تعداد گره ها.. 70
شکل4- 12-مقادیر خطای میانگین بازای مقادیر مختلف فاصله ی گره ها برحسب پارامتر شکل بدون بعد.. 71
شکل4- 13-توزیع خطا در راستای x واثر پدیده ی رانچ بر آن برای   72
دو مقدار مختلف از پارامتر شکل.. 72
شکل4- 14-مقایسه ی نتایج مدل عددی RBF-DQ با روش المان محدود   73
شکل4- 15-طرح شماتیک آرایش گرهها در مخزن عددی.. 76
شکل4- 16-بررسی عدد وضعیت ماتریس بازای مقادیر مختلف   77
پارامتر شکل و گره ها در راستای افقی.. 77
شکل4- 17-بررسی عدد وضعیت ماتریس بازای مقادیر مختلف   77
پارامتر شکل و گره ها در راستای عمق.. 77
شکل4- 18-بررسی عدد وضعیت ماتریس بازای مقادیر مختلف   77
پارامتر شکل و گره ها در زیر دامنه ها.. 77
شکل4- 19-خطای RMSE تابع پتانسیل سرعت برحسب پارامتر شکل
و بازای مقادیر مختلف تعداد گره ها در راستای افقی   78
شکل4- 20-خطای RMSE تراز سطح آب برحسب پارامتر شکل و بازای
مقادیر مختلف تعداد گره ها در راستای افقی.. 79
 
عنوان                                         صفحه
 
شکل4- 21-خطای RMSE تابع پتانسیل سرعت برحسب پارامتر شکل و بازای
مقادیر مختلف تعداد گره ها در راستای عمق.. 81
شکل4- 22-خطای RMSE تراز سطح آب برحسب پارامتر شکل و بازای مقادیر
مختلف تعداد گره ها در راستای عمق.. 82
شکل4- 23-خطای RMSE تابع پتانسیل سرعت برحسب پارامتر شکل و بازای
مقادیر مختلف تعداد گره ها در دامنه ی تاثیر.. 83
شکل4- 24-خطای RMSE تراز سطح آب برحسب پارامتر شکل و بازای مقادیر
مختلف تعداد گره ها در دامنه ی تاثیر.. 84
شکل4- 25-تراز سطح آب برحسب مکان در زمان t=25 ثانیه   86
شکل4- 26-موقعیت گره ها در زمان t=25 ثانیه.. 86
شکل4- 27-تراز سطح آب بر حسب زمان در وسط مخزن.. 87
شکل4- 28-انتشار امواج در مخزن در چهار زمان متفاوت   87
شکل4- 29-تاثیر طول ناحیه ی استهلاک بر تراز سطح آب.. 88
شکل4- 30-مقایسه ی نتیایج روش RBF-DQ با روش RBF در زمان t=20 ثانیه   89
شکل4- 31-خطای RMSE تابع پتانسیل سرعت برحسب پارامتر شکل
و بازای مقادیر مختلف تعداد گره ها در راستای افقی   92
شکل4- 32-خطای RMSE تراز سطح آب برحسب پارامتر شکل و بازای مقادیر
مختلف تعداد گره ها در راستای افقی.. 93
شکل4- 33-خطای RMSE تابع پتانسیل سرعت برحسب پارامتر شکل و بازای
مقادیر مختلف تعداد گره ها در راستای عمق.. 94
شکل4- 34-خطای RMSE تراز سطح آب برحسب پارامتر شکل و بازای
مقادیر مختلف تعداد گره ها در راستای عمق.. 95
شکل4- 35-خطای RMSE تابع پتانسیل سرعت برحسب پارامتر شکل و بازای
مقادیر مختلف تعداد گره ها در دامنه ی تاثیر.. 97
عنوان                                         صفحه
 
شکل4- 36-خطای RMSE تراز سطح آب برحسب پارامتر شکل و بازای مقادیر
مختلف تعداد گره ها در دامنه ی تاثیر.. 98
شکل4- 37-تراز سطح آب برحسب مکان در زمان t=25 ثانیه   99
شکل4- 38-موقعیت گره ها در زمان t=25 ثانیه.. 100
شکل4- 39-تراز سطح آب بر حسب زمان در وسط مخزن(x=15 متر)   100
شکل4- 40-انتشار امواج در مخزن در چهار زمان متفاوت   101
شکل4- 41-مقایسه ی نتیایج روش RBF-DQ با روش RBF در زمان t=20 ثانیه   102
شکل4- 42-هندسه ی موج ساز شناور گوه ای.. 103
شکل4- 43-تراز سطح آزاد بر حسب زمان در مکان x/a=9.629. 104
شکل4- 44-تراز سطح آزاد بر حسب زمان در مکان x/a=9.629. 104
شکل4- 45-موقعیت گره ها در زمان t=15.7 ثانیه.. 105
شکل4- 46-خطای میان مدل خطی با مدل غیرخطی بازای مقادیر مختلف H/h  106
شکل4- 47-خطای میان مدل خطی با مدل غیرخطی بازای مقادیر مختلف H/L   106
شکل4- 48-خطای میان مدل خطی با مدل غیرخطی بازای مقادیر مختلف H/L   107
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
فصل اول
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
مقدمه
 
 
1-1- کلیات
 
اقیانوسها و دریاها سرمایه های عظیم جهان هستی بشمار می­آیند و اثرات مهمی بر معیشت مردم، اقتصاد، توریسم و حمل و نقل می­گذارند. دراین محیط های آبی بیکران،
پدیده­های گوناگونی روی می­دهد؛ یکی از آشکارترین این پدیده­ها که پیوندی ناگسستنی با دریاها و اقیانوسها دارد؛ امواج ناشی از باد است. ­شناخت و پیش­ بینی این امواج برای بهره‌برداری صحیح و ایمن از اقیانوس­ها و دریاها امری ضروری است. در تحقیق حاضر این امواج مورد بررسی قرارگرفته­اند و مدلی ریاضی برای شبیه­سازی آنها ارائه­شده­است.